グラぽで掲載されていた出場時間集中係数の計算プログラム＆分析結果再現をこころみる

仕事に疲れたので、休憩用に遊んでいたものをそのまま記事にするだけのやつ*1
車輪の再発明ってやつですね。

Motivation:コナカ先生の知的な試み
ジニ係数（オリジナル）の計算方法について
集中係数へのアレンジ
再現できたかの検証
追記：Excelでやるには

Motivation:コナカ先生の知的な試み

先日、グラぽでとても興味深い記事が出ていた。
grapo.net

出場時間がどれだけ特定の選手に集中しているのかを指標化していて、非常に面白い試みであった。

記事が長くなると思って入れませんでしたが，「出場時間集中係数」の元ネタはジニ係数です．サッカー固有の「最も資源が集中している状況」をアレンジして作りました．https://t.co/BJetyw36y0
— konakalab (小中研究室/名城大) (@konakalab) 2020年10月16日

元ネタはジニ係数とのことであるので、結果の再現や計算プログラムは簡単に作れるのではないかと考えた。

また、以下のTwitterのように、計算方法が分からないとつぶやいているかたもおられた。

記事の考え方で、先日の大会でのうちのチームの状況を整理してみた。
24分×8人×3試合=576分の各選手への配分状況。
超文系脳&直感型なので、出場時間集中係数の出し方がどーしてもわからんちんですが笑
選手たちにはたくさん試合に出てもらいたいので、できるだけ青のグラフに近づけてあげたいですね😊 https://t.co/AO5W4G7P3K pic.twitter.com/N6NZvvv18O
— TWU🌈⚽️ (@TWU20180401) 2020年10月22日

そこで、小中先生は(本人もおっしゃっている通り紙幅の都合上で)計算方法は直接語っていないので、計算プログラムや計算結果を再現できないか考えてみる。

ジニ係数（オリジナル）の計算方法について

ジニ係数の計算の方法は色々あるが、スマート*2なのは、Jacques Silberが紹介しているG-Matrixを用いた方法である。
G-Matirxとは、対角成分が0, 非対角成分の右上部分が1, 非対角成分の左下部分が-1の正方行列である。

ジニ係数を計算するには、所得シェアを昇順にならべたベクトルを $I$ 、対応する人数シェアを $P$ とし、G-Matrixを $G$ とすると
$Gini= P' GI$
という計算を行えばよい（ $'$ は転置）。

それ自体は、以下のような簡単なプログラムで実装できる。

#Gini係数の計算
gini_calc <- function(x){
  x_s <- sort(x) 
  p <-  rep( 1, length(x_s)) / length(x_s)#人数シェア
  incm <- x_s / sum(x_s) #所得シェア
  g_mat <- make_gmat(length(x)) #G-Matrix
  g_index <- t(matrix( p)) %*% g_mat %*% (matrix( incm))
  return(g_index)
} #
#G-matrixの作成関数
make_gmat <- function(n){
  n_mat <- matrix( 0 , nrow=n , ncol=n)
  n_mat[col(n_mat) > row(n_mat)] <- 1
  n_mat[col(n_mat) < row(n_mat)] <- -1
  return(n_mat)
} #G-Matrix

集中係数へのアレンジ

さて、件の指標はもちろんジニ係数に着想を得ただけであって、そのものではない。
なぜなら不平等指標としてのジニ係数の完全不平等状態は「1人」が金や資産を独占した場合を想定しているが
サッカーにおける独占は「11人」がフル出場している場合だからだ。

そのため、1人が独占している場合でなく11人が独占している場合を完全不平等状態=1としなければならない。

よって、出場時間を元にジニ係数の計算式を適用して出た数値を、11人が独占した場合のジニ係数で除するという補正を行っているのではないかと推測した。

そのようなアレンジ（推定）を加えて、以下のような関数をつくる

gini_konaka <- function(x){
  #30人に足りない場合は30人にする 
  add_n <- 30- length( x)
  x <- c( x , rep( 0, add_n))
  #11人による独占状態のベクトルをつくる
  total_min <- sum(x)
  dokusen_min <- c( rep(0,19), rep(total_min/11 , 11))
  
  #独占状態のGiniを計算する
  dokusen_gini <- gini_calc(dokusen_min)
  club_gini <- gini_calc(x)
  return(round( as.numeric( club_gini/dokusen_gini) ,3))
}